掌上微课堂圆来如此之圆内接四边形老

在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

圆的内接四边形的性质及判定在平面几何中起着非常重要的作用：

1.通过圆快速得到圆中四边形对角及外角与内对角的关系；

2.通过角的关系，得到一个圆，进而得到另外的圆中角的关系.

既然有如此重要的作用，现在我们开始系统学习一下有关圆内接四边形的性质吧。

知识点1圆的内接多边形

如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.

针对这一概念，这里或许你有很多疑问：

（1）三角形都有外接圆吗？

老师回答你，三角形三边垂直平分线交于一点，这点到三个顶点距离相等，这点叫做三角形外接圆的圆心.三角形一定有外接圆.（不共线的三点确定一个圆）

（2）一般地，任意四边形都有外接圆吗？

老师回答你，不一定，和三角形一样，四边形如果有外接圆，则要求四边形的四条边的垂直平分线交于一点.而四边形的四边的垂直平分线不一定交于一点.如平行四边形.

（3）任意矩形是否都有外接圆?

老师回答你，矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等.所以矩形一定有外接圆.圆内接四边形的特例有矩形、正方形、等腰梯形。

知识点2性质定理

圆的内接四边形性质定理1

圆的内接四边形对角互补.

下面给出性质定理1的证明：

已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC=°．（用两种方法）

证法1：连接OA，OC，

∵∠B=1/2∠1，∠D=1/2∠2，

∴∠B+∠D=1/2（∠1+∠2）=1/2×°=°；

证法2：如图2，连接CA，BD，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ADC=∠1+∠3=∠2+∠4，

∴∠ADC+∠ABC=∠2+∠4+∠ABC=°．

下面我们一起来看看它们用途吧。

例1．（东海县二模）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ 　　）

A．1：2：3：4

B．1：3：2：4

C．1：4：2：3

D．1：2：4：3

利用圆内接四边形的对角互补判断即可．

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C=°=∠B+∠D，故选：D．

变式1．（春思明区校级月考）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C=2：1：4，则∠D=_____度．

根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程即可．

设∠A、∠B、∠C分别为2x、x、4x，

则2x+4x=°，

解得，x=30°，则∠B=30°，

∴∠D=°﹣∠B=°，

故答案为：．

变式2．（秋铜山区校级月考）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：5：6：m，

则m=______，∠D=_______．

根据圆的内接四边形对角互补的性质即可得出结论．

∵圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：5：6：m，

∵3+6=5+m，解得m=4．

设∠B=5x，则∠D=4x，

∵∠B+∠D=°，即5x+4x=°，解得x=20°，

∴∠D=4x=80°．

故答案为：4，80°．

性质1理解及应用还可以通过如下视频加以理解巩固。

圆的内接四边形性质定理2

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）

例2．（林州市一模）如图，四边形ABCE内接于⊙O，∠DCE=50°，则∠BOE=（ 　　）

A．°B．50°

C．70°D．°

根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A，根据圆周角定理计算即可．

∵四边形ABCE内接于⊙O，

∴∠A=∠DCE=50°，

由圆周角定理可得，∠BOE=2∠A=°，

故选：A．

变式．（秋嵊州市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上，弧DA=弧DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ 　　）

A．°B．50°

C．°D．65°

根据圆内接四边形的性质得到∠D=∠CBE=50°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D=∠CBE=50°，

∵弧DA=弧DC，∴DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=(°-50°)/2=65°，故选：D．

知识点3圆的内接四边形的判定

判定定理1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点四点在同一个圆周上（简称四点共圆）.

解析：由于不在同一直线上的三个点确定一个圆，如图，设A，B，C三个点可确定一个圆⊙O，

⊙O与点D有且只有三种位置关系：

（1）点在圆外；（2）点在圆内；（3）点在圆上.

（1）当点在圆O外时,设E是AD与圆周的交点，连接EC，

则有∠B+∠AEC=°,又∠B+∠D=°，则∠AEC=∠D,而∠AEC是△ECD的一个外角，

∠AEC＞∠D，矛盾，所以假设不成立，D不能在圆外.

（2）当点在圆O内的时，如图，延长AD交圆周于E，连接CE，

则∠B+∠E=°，又已知∠B+∠D=°，∴∠ADC=∠E,∠ADC是△DCE的一个外角，

∠ADC＞∠E，矛盾.假设不成立，D不能在圆内.

综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D在同一个圆周上（简称四点共圆）

例3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是______．

求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．

连接CO，MO，

∵∠CPO=∠CMO=90°，∴∠CPO+∠CMO=°，

∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），

连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4．

本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．

例4．如图，⊙O的半径为2，OA，OB是⊙O的半径，点P是弧AB上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则EF的最大值为______．

延长PE、PF分别交圆于G、H，根据垂径定理得到PE=EG，PF=FH，得到EF=1/2GH，根据圆的最长的弦是直径解答即可．

解法1：延长PE、PF分别交圆于G、H，

∵PE⊥OA、PF⊥OB，

∴PE=EG，PF=FH

∴EF是△PGH的中位线

∴EF=1/2GH

∵GH是⊙O的弦

∴GH的最大值为2OA=2×2=4，

∴EF的最大值为×4=2．

故答案为：2．

解法2：∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠PEO+∠PFO=°，

∴P，E，O，F，四点共圆，且PO为直径（E为圆心），

容易得到EF的最大值为直径时取最大值，故答案为：2．

没有比较就没有伤害，以后我们可以尝试运用四点共圆求解问题。四点共圆是平面几何中重要的知识点，用好四点共圆，可以快速发现几何题目存在的圆有关的性质.作为四点共圆的第一个判定定理，其证明方法巧妙，把反证法用得淋漓尽致，可作为经典.

推论：如果四边形一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆

练习，牛刀小试：

1．（邵阳中考题）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=°，则∠BOD的大小是（ 　　）

A．80°B．°

C．°D．90°

2．（秋崇川区校级月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．

（1）若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=40°，求∠A的度数；

（3）若∠E=30°，∠F=40°，求∠A的度数．

1.B．

2.（1）根据外角的性质即可得到结论；

（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；

（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠CEF+∠CFE，则∠A=∠CEF+∠CFE，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠CEF+∠CFE+∠E+∠F=°，解方程即可．

当然还有其他一些方法，以后将不断学习

1.四个顶点与某定点等距离，这个四边形内接于一个圆。

2.一个外角等于它的内对角的四边形内接于一个圆。

3.同底的两个三角形，若另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，则两个三角形有公共的外接圆。

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